「the number of」と「a number of」の違い

「the number of」の意味は

「～の数」

です。

“Do you know the number of my own car’s ?”
「あなたは、私の所有する車の数を知っていますか？」

「a number of」の意味は

「ある数の、いくらかの、たくさんの」

です。

He learned a number of important things.
彼はいくらかの重要なことを学んだ。

「the number of」と「a number of」の違いですが、

「the number of」は”of”の後の数について表し、単数扱いです。

一方、「a number of」は、いくつかわからないがある程度の数を表し複数扱いです。